Ступені з натуральним показником та їх властивості. Розробка уроку " ступінь із натуральним показником " . Систематизація опорних знань

Раніше ми вже говорили, що таке ступінь числа. Вона має певні властивості, корисні у вирішенні завдань: саме їх та всі можливі показники ступеня ми розберемо у цій статті. Також ми наочно покажемо на прикладах, як їх можна довести та правильно застосувати на практиці.

Згадаймо вже сформульоване нами раніше поняття ступеня з натуральним показником: це добуток n-ної кількості множників, кожен з яких дорівнює а. Також нам доведеться згадати, як правильно множити дійсні числа. Все це допоможе нам сформулювати для ступеня з натуральним показником такі властивості:

Визначення 1

1. Головна властивість ступеня: a m · a n = a m + n

Можна узагальнити до: a n 1 · an 2 · … · an k = an 1 + n 2 + … + n k .

2. Властивість частки для ступенів, що мають однакові підстави: a m: a n = a m − n

3. Властивість ступеня твору: (a · b) n = a n · b n

Рівність можна розширити до: (a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

4. Властивість частки в натуральному ступені: (a: b) n = a n: b n

5. Зводимо ступінь у ступінь: (a m) n = a m · n ,

Можна узагальнити до: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 · n 2 · … · n k

6. Порівнюємо ступінь з нулем:

• якщо a > 0 то при будь-якому натуральному n, a n буде більше нуля;
• при a , рівному 0 , a n також дорівнюватиме нулю;
• при a< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• при a< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Рівність a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Нерівність a m > a n буде правильною за умови, що m і n – натуральні числа, m більше n і а більше за нуль і не менше одиниці.

У результаті ми здобули кілька рівностей; якщо дотриматися всіх умов, зазначених вище, то вони будуть тотожними. Для кожного з рівностей, наприклад, для основного властивості, можна поміняти місцями праву і ліву частину: a m · a n = a m + n - те саме, що і a m + n = a m · a n . У такому вигляді воно часто використовується при спрощенні виразів.

1. Почнемо з основного властивості ступеня: рівність a m a n = a m + n буде вірним за будь-яких натуральних m і n і дійсному a . Як довести це твердження?

Основне визначення ступенів з натуральними показниками дозволить нам перетворити рівність на твір множників. Ми отримаємо запис такого виду:

Це можна скоротити до (Згадаймо основні властивості множення). У результаті ми отримали ступінь числа a з натуральним показником m + n. Таким чином, a m + n означає основну властивість ступеня доведено.

Розберемо конкретний приклад, що підтверджує це.

Приклад 1

Отже, у нас є два ступені з основою 2 . Їхні натуральні показники - 2 і 3 відповідно. У нас вийшла рівність: 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Обчислимо значення, щоб перевірити вірність цієї рівності.

Виконаємо необхідні математичні дії: 2 2 · 2 3 = (2 · 2) · (2 ​​· 2 · 2) = 4 · 8 = 32 і 2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32

У результаті ми вийшло: 2 2 · 2 3 = 2 5 . Властивість доведено.

У силу властивостей множення ми можемо виконати узагальнення властивості, сформулювавши його у вигляді трьох і більшої кількості ступенів, у яких показники є натуральними числами, а підстави однакові. Якщо позначити кількість натуральних чисел n 1 , n 2 та ін. літерою k , ми отримаємо правильну рівність:

a n 1 · a n 2 · … · a n k = an 1 + n 2 + … + n k .

Приклад 2

2. Далі нам необхідно довести таку властивість, яка називається властивістю приватного і властиво ступеням з однаковими підставами: це рівність a m: a n = a m n , яка справедлива за будь-яких натуральних m і n (причому m більше n)) і будь-якого відмінного від нуля дійсного a .

Для початку пояснимо, який саме зміст умов, згаданих у формулюванні. Якщо ми візьмемо a, що дорівнює нулю, то у результаті вийде поділ на нуль, чого робити не можна (адже 0 n = 0). Умова, щоб число m обов'язково було більше n, потрібно для того, щоб ми могли утриматися в рамках натуральних показників ступеня: віднімаючи n з m, ми отримаємо натуральне число. Якщо умови не буде дотримано, у нас вийде негативне число або нуль, і знову ж таки ми вийдемо за межі вивчення ступенів із натуральними показниками.

Тепер ми можемо перейти до підтвердження. З раніше вивченого пригадаємо основні властивості дробів та сформулюємо рівність так:

a m − n · a n = a (m − n) + n = a m

З нього можна вивести: a m − n · a n = a m

Згадаймо про зв'язок поділу та множення. З нього випливає, що a m n - приватна ступенів a m і a n . Це і є підтвердження другої якості ступеня.

Приклад 3

Підставимо конкретні числа для наочності в показники, а основу ступеня позначимо π : π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. Наступним ми розберемо властивість ступеня твору: (a · b) n = a n · b n за будь-яких дійсних a і b і натурального n .

Згідно з базовим визначенням ступеня з натуральним показником ми можемо переформулювати рівність так:

Згадавши властивості множення, запишемо: . Це означає те саме, що і a n · b n .

Приклад 4

2 3 · - 4 2 5 4 = 2 3 4 · - 4 2 5 4

Якщо множників у нас три і більше, то ця властивість також поширюється на цей випадок. Введемо для числа множників позначення k і запишемо:

(a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

Приклад 5

З конкретними числами отримаємо таку правильну рівність: (2 · (- 2 , 3) ​​· a) 7 = 2 7 · (- 2 , 3) ​​7 · a

4. Після цього ми спробуємо довести властивість частки: (a: b) n = a n: b n за будь-яких дійсних a і b , якщо b не дорівнює 0 , а n – натуральне число.

Для підтвердження можна використовувати попередню властивість ступеня. Якщо (a: b) n · b n = ((a: b) · b) n = a n , а (a: b) n · b n = a n , то з цього виходить, що (a: b) n є приватним від розподілу a n на b n .

Приклад 6

Підрахуємо приклад: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

Приклад 7

Почнемо відразу з прикладу: (5 2) 3 = 5 2 · 3 = 5 6

А тепер сформулюємо ланцюжок рівностей, який доведе нам вірність рівності:

Якщо у нас у прикладі є ступеня ступенів, то ця властивість є справедливою для них також. Якщо у нас є будь-які натуральні числа p, q, r, s, то правильно буде:

a p q y s = a p · q · y · s

Приклад 8

Додамо конкретики: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 · 2 · 5 = (5 , 2) 30

6. Ще одна властивість ступенів із натуральним показником, яку нам потрібно довести, – властивість порівняння.

Для початку порівняємо ступінь із нулем. Чому a n > 0 за умови, що більше 0 ?

Якщо помножити одне позитивне число інше, ми отримаємо також позитивне число. Знаючи цей факт, ми можемо сказати, що від числа множників це не залежить – результат множення будь-якої кількості позитивних чисел є позитивним. А що таке ступінь, як результат множення чисел? Тоді для будь-якого ступеня a n з позитивною основою та натуральним показником це буде правильно.

Приклад 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 і 34 9 13 51 > 0

Також очевидно, що ступінь з основою, що дорівнює нулю, сама є нуль. Який би ступінь ми не зводили нуль, він залишиться їм.

Приклад 10

0 3 = 0 та 0 762 = 0

Якщо основа ступеня – негативне число, то тут доказ трохи складніше, оскільки важливим стає поняття парності/непарності показника. Візьмемо спочатку випадок, коли показник ступеня парний, і позначимо його 2 · m , де m – натуральне число.

Згадаймо, як правильно множити негативні числа: твір a · a дорівнює добутку модулів, а отже, воно буде позитивним числом. Тоді і ступінь a 2 · m також позитивні.

Приклад 11

Наприклад, (−6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 та - 2 9 6 > 0

Якщо показник ступеня з негативним підставою – непарне число? Позначимо його 2 · m − 1 .

Тоді

Всі твори a · a згідно властивостей множення, позитивні, їх твір теж. Але якщо ми його помножимо на єдине число, що залишилося a , то кінцевий результат буде від'ємний.

Тоді отримаємо: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Як це довести?

a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Приклад 12

Наприклад, вірні нерівності: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Нам залишилося довести останню властивість: якщо у нас є два ступені, підстави яких однакові та позитивні, а показники є натуральними числами, то та з них більша, показник якої менший; а з двох ступенів з натуральними показниками та однаковими основами, більшими одиниці, більшим є той ступінь, показник якого більший.

Доведемо ці твердження.

Для початку нам потрібно переконатися, що am< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Винесемо a n за дужки, після чого наша різниця набуде вигляду a n · (a m − n − 1) . Її результат буде негативний (оскільки негативний результат множення позитивного числа на негативне). Адже згідно з початковими умовами, m − n > 0 , тоді a m − n − 1 –негативно, а перший множник позитивний, як і будь-який натуральний ступінь із позитивною основою.

У нас вийшло, що a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Залишилося навести доказ другої частини твердження, сформульованого вище: a m > a справедливо при m > n та a > 1 . Вкажемо різницю і винесемо a n за дужки: (a m − n − 1) .Ступінь a n при а, більшому за одиницю, дасть позитивний результат; а сама різниця також виявиться позитивною через початкові умови, і при a > 1 ступінь a m n більше одиниці. Виходить, a m − a n > 0 і a m > a n , що нам потрібно було довести.

Приклад 13

Приклад із конкретними числами: 3 7 > 3 2

Основні властивості ступенів із цілими показниками

Для ступенів з цілими позитивними показниками властивості будуть аналогічні, тому що цілі позитивні числа є натуральними, а отже, всі рівні, доведені вище, справедливі і для них. Також вони підходять і для випадків, коли показники негативні або рівні нулю (за умови, що сама основа ступеня ненульова).

Таким чином, властивості ступенів такі ж для будь-яких підстав a та b (за умови, що ці числа дійсні і не рівні 0) та будь-яких показників m і n (за умови, що вони є цілими числами). Запишемо їх коротко у вигляді формул:

Визначення 2

1. a m · a n = a m + n

2. a m: a n = a m − n

3. (a · b) n = a n · b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (a m) n = a m · n

6. a n< b n и a − n >b − n за умови цілого позитивного n , позитивних a та b , a< b

7. a m< a n , при условии целых m и n , m >n та 0< a < 1 , при a >1 a m > a n.

Якщо підстава ступеня дорівнює нулю, записи a m і a n мають сенс лише у разі натуральних і позитивних m і n . У результаті отримаємо, що формулювання вище підходять і для випадків зі ступенем з нульовою основою, якщо дотримуються всі інші умови.

Докази цих властивостей у разі нескладні. Нам потрібно згадати, що таке ступінь з натуральним та цілим показником, а також властивості дій із дійсними числами.

Розберемо властивість ступеня в міру і доведемо, що воно правильне і для позитивних, і для непозитивних чисел. Почнемо з доказу рівностей (a p) q = a p · q , (a - p) q = a (- p) · q, (a p) - q = a p · (- q) та (a - p) - q = a (− p) · (− q)

Умови: p = 0 чи натуральне число; q – аналогічно.

Якщо значення p і q більше 0, то в нас вийде (a p) q = a p · q. Таку рівність ми вже доводили раніше. Якщо p = 0, то:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 · q = a 0 = 1

Отже, (a 0) q = a 0 · q

Для q = 0 так само:

(a p) 0 = 1 a p · 0 = a 0 = 1

Підсумок: (a p) 0 = a p · 0 .

Якщо ж обидва показники нульові, то (a 0) 0 = 1 0 = 1 і a 0 · 0 = a 0 = 1 означає, (a 0) 0 = a 0 · 0 .

Згадаймо доведену вище властивість частки в мірі і запишемо:

1 a p q = 1 q a p q

Якщо 1 p = 1 · 1 · … · 1 = 1 і a p q = a p · q, то 1 q a p q = 1 a p · q

Цей запис ми можемо перетворити з основних правил множення в a (− p) · q .

Також: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p · q = a - (p · q) = a p · (- q) .

І (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p · q = a (- p) · (- q)

Інші властивості ступеня можна довести аналогічним чином, перетворивши наявні нерівності. Докладно зупинятись ми на цьому не будемо, зазначимо лише складні моменти.

Доказ передостанньої властивості: пригадаємо, a − n > b − n правильне будь-яких цілих негативних значень nі будь-яких позитивних a і b за умови, що a менше b .

Тоді нерівність можна перетворити так:

1 a n > 1 b n

Запишемо праву та ліву частини у вигляді різниці та виконаємо необхідні перетворення:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n · b n

Згадаймо, що в умові a менше b тоді, згідно з визначенням ступеня з натуральним показником: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n у результаті дає позитивне число, оскільки його множники є позитивними. У результаті маємо дріб b n - a n a n · b n , яка у результаті також дає позитивний результат. Звідси 1 a n > 1 b n звідки a − n > b − n , що нам треба було довести.

Остання властивість ступенів із цілими показниками доводиться аналогічно до властивості ступенів з показниками натуральними.

Основні властивості ступенів з раціональними показниками

У попередніх статтях ми розбирали, що таке ступінь із раціональним (дрібним) показником. Їхні властивості такі ж, що й у ступенів з цілими показниками. Запишемо:

Визначення 3

1. a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 при a > 0 , а якщо m 1 n 1 > 0 і m 2 n 2 > 0 , то при a ≥ 0 (властивість добутку степенів з однаковими основами).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 якщо a > 0 (властивість приватного).

3. a · b m n = a m n · b m n при a > 0 і b > 0 , а якщо m 1 n 1 > 0 і m 2 n 2 > 0 , то при a ≥ 0 та (або) b ≥ 0 (властивість твору в дробового ступеня).

4. a: b m n = a m n: b m n при a > 0 і b > 0 , а якщо m n > 0 , то при a ≥ 0 і b > 0 (властивість приватного дробового ступеня).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 · m 2 n 2 при a > 0 , а якщо m 1 n 1 > 0 і m 2 n 2 > 0 , то при a ≥ 0 (властивість ступеня в ступеня).

6. a p< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; якщо p< 0 - a p >b p (властивість порівняння ступенів з рівними раціональними показниками).

7. a p< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q при 0< a < 1 ; если a >0 - a p > a q

Для доказу зазначених положень нам знадобиться згадати, що таке ступінь із дробовим показником, які властивості арифметичного кореня n-ного ступеня та які властивості ступеня з цілими показником. Розберемо кожну властивість.

Відповідно до того, що собою являє ступінь з дробовим показником, отримаємо:

a m 1 n 1 = a m 1 n 1 і a m 2 n 2 = a m 2 n 2 , отже, a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 · a m 2 n 2

Властивості кореня дозволять нам вивести рівність:

a m 1 · m 2 n 1 · n 2 · a m 2 · m 1 n 2 · n 1 = a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2

З цього отримуємо: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Перетворюємо:

a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Показник ступеня можна записати у вигляді:

m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2 = m 1 · n 2 n 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Це є доказ. Друга властивість доводиться абсолютно так само. Запишемо ланцюжок рівностей:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 · n 2: a m 2 · n 1 n · n 2 = = a m 1 · n 2 - m 2 · n 1 n 1 · n 2 = am 1 · n 2 - m 2 · n 1 n 1 · n 2 = am 1 · n 2 n 1 · n 2 - m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Докази інших рівностей:

a · b m n = (a · b) m n = a m · b m n = a m n · b m n = a m n · b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n; am 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 · m 2 n 1 n 2 = = a m 1 · m 2 n 2 · n 1 = a m 1 · m 2 n 2 · n 1 = a m 1 n 1 · m 2 n 2

Наступна властивість: доведемо, що для будь-яких значень a і b більше 0 якщо а менше b буде виконуватися a p< b p , а для p больше 0 - a p >b p

Уявимо раціональне число p як m n . У цьому m –ціле число, n –натуральне. Тоді умови p< 0 и p >0 будуть поширюватися на m< 0 и m >0 . При m > 0 та a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Використовуємо властивість коріння і виведемо: a m n< b m n

Враховуючи позитивність значень a і b перепишемо нерівність як a m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

Так само при m< 0 имеем a a m >b m отримуємо a m n > b m n означає, a m n > b m n і a p > b p .

Нам залишилося навести доказ останньої якості. Доведемо, що для раціональних чисел p і q p > q при 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 буде правильно a p > a q.

Раціональні числа p і q можна привести до спільного знаменника та отримати дроби m 1 n і m 2 n

Тут m1 і m2 – цілі числа, а n – натуральне. Якщо p > q , то m 1 > m 2 (з огляду на правило порівняння дробів). Тоді при 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – нерівність a 1 m > a 2 m.

Їх можна переписати в наступному вигляді:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Тоді можна зробити перетворення та отримати в результаті:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Підбиваємо підсумок: при p > q і 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 - a p > a q.

Основні властивості ступенів із ірраціональними показниками

На такий ступінь можна поширити всі описані вище властивості, якими має рівень з раціональними показниками. Це випливає із самого її визначення, яке ми давали в одній із попередніх статей. Сформулюємо коротко ці властивості (умови: a > 0, b > 0, показники p і q – ірраціональні числа):

Визначення 4

1. a p · a q = a p + q

2. a p: a q = a p − q

3. (a · b) p = a p · b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p · q

6. a p< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >b p

7. a p< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 , a p > a q .

Таким чином, всі ступеня, показники яких p і q є дійсними числами, за умови a > 0 мають ті ж властивості.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Технологічна карта навчального заняття

7 клас Урок № 38

Тема: Ступінь із натуральним показником

1. Забезпечити повторення, узагальнення та систематизацію знань на тему, закріпити та вдосконалити навички найпростіших перетворень виразів, що містять ступеня з натуральним показником, створити умови контролю засвоєння знань та умінь;

2. Сприяти формуванню умінь застосовувати прийоми узагальнення, порівняння, виділення головного, сприяти вихованню інтересу перенесення знань у нову ситуацію, розвиток математичного кругозору, мови, уваги та пам'яті, розвиток навчально-пізнавальної діяльності;

3. Сприяти вихованню інтересу до математики, активності, організованості, виховувати вміння взаємо та самоконтролю своєї діяльності, формування позитивної мотивації вчення, культури спілкування.

Основні поняття навчального заняття

Ступінь, основа ступеня, показник ступеня, властивості ступеня, добуток ступеня, поділ ступенів, зведення ступеня в ступінь.

Запланований результат

Навчаться оперувати поняттям Ступінь, розуміти зміст запису числа у вигляді ступеня, виконувати нескладні перетворення виразів, що містять ступеня з натуральним показником.

Отримають можливість навчитися виконувати перетворення цілих виразів, що містять ступінь із натуральним показником

Предметні вміння, УУД

Особистісні УУД:

здатність до самооцінки з урахуванням критерію успішності навчальної діяльності.

Пізнавальні УУД:

вміння орієнтуватися у своїй системі знань та умінь: відрізняти нове від уже відомого за допомогою вчителя; знаходити відповіді питання, використовуючи інформацію, повчену під час уроку.

Узагальнення та систематизація навчального матеріалу, оперувати символічним записом ступеня, замін, відтворювати по пам'яті інформацію, необхідну для вирішення навчальної задачі

Предметні УУД:

Застосовувати властивості ступеня для перетворення виразів, що містять ступеня з натуральним показником

Регулятивні УУД:

Вміння визначати та формулювати мету на уроці за допомогою вчителя; оцінювати свою роботу на уроці.Здійснювати взаємоконтроль та самоконтроль при виконанні завдань

Комунікативні УУД:
Вміти оформлювати свої думки в усній та письмовій формі, слухати та розуміти мову інших

Метапредметні зв'язки

Фізика, астрономія, медицина, повсякденне життя

Тип уроку

Повторення, узагальнення та застосування знань та умінь.

Форми роботи та методи роботи

Фронтальна, парна, індивідуальна. Пояснювально – ілюстративний, словесний, проблемна ситуація, практикум, взаємоперевірка, контроль

Ресурсне забезпечення

Компоненти УМК Макаричева Підручник, проектор, екран, комп'ютер, презентація, завдання для учнів, листи самооцінки

Технології, що використовуються на навчальному занятті

Технологія смислового читання, проблемного навчання, індивідуальний та диференційований підхід, ІКТ

Настрій учнів на роботу, мобілізація уваги

Доброго дня, хлопці. Добрий день, шановні колеги! Я вітаю всіх, хто зібрався на сьогоднішньому відкритому уроці. Хлопці, я хочу побажати вам плідно попрацювати на уроці, уважно обмірковувати відповіді на поставлені питання, не поспішати, не перебивати, поважати однокласників та їх відповіді. А ще побажаю вам усім отримати лише добрі оцінки. Удачі вам!

Включаються до ділового ритму уроку

Перевіряють наявність всього необхідного для роботи на уроці, акуратність розташування предметів. Вміння організувати себе, налаштовуються працювати.

2.Актуалізація опорних знань та входження у тему уроку

3. Усна робота

У кожного з вас на парті лежать оціночні листи.На них ви оцінюватимете свою роботу на уроці.Вам сьогодні на уроці надається можливість отримати не одну, а дві оцінки: за роботу на уроці та самостійну роботу.
Ваші вірні, повні відповіді теж будуть оцінюватися «+», але в іншій колонці і цю оцінку ставитиму я.

На екрані ви бачите ребуси, у яких зашифровано ключові слова сучасного уроку. Розгадайте їх. (Слайд 1)

ступінь

повторення

узагальнення

Діти, ви правильно відгадали ребуси. Ці слова: ступінь, повторення та узагальнення. Нині ж, використовуючи відгадані слова – підказки, сформулюйте тему сьогоднішнього уроку.

Правильно. Відкрийте зошити та запишіть число та тему уроку «Повторення та узагальнення на тему «Властивості ступеня з натуральним показником» (Слайд 2)

Тему уроку ми з вами визначили, а як ви вважаєте, чим ми займатимемося на уроці, які цілі поставимо перед собою? (Слайд 3)

Повторити та узагальнити наші знання з цієї теми, ліквідувати наявні прогалини, підготуватися до вивчення наступної теми «Одночлени».

Діти, властивості ступеня з натуральним показником часто застосовуються при знаходженні значень виразів, при перетвореннях виразів. Швидкість обчислень та перетворень, пов'язаних із властивостями ступеня з натуральним показником, продиктована і введенням ЄДІ.

Отже, сьогодні ми повторимо та узагальним ваші знання та вміння з цієї теми. Усно ви повинні вирішити низку завдань і згадати словесне угруповання властивостей та визначення ступеня з натуральним показником.

Епіграф до уроку слова великого російського вченого М.В.Ломоносова « Нехай хтось спробує викреслити з математики ступеня, і він побачить, що без них далеко не поїдеш»

(Слайд 4)

Як ви думаєте, правий вчений?

Навіщо нам потрібні ступеня?

Де вони знайшли широке застосування? (у фізиці, астрономії, медицині)

Правильно, а тепер давайте повторимо, що таке ступінь?

Як називаються а іnу записі ступеня?

Які дії можна виконувати зі ступенями? (Слайди 5-11)

А тепер підіб'ємо підсумок. У вас на парті листочки із завданнями .

1.Зліва вказано початок визначень праворуч закінчення визначень. З'єднайте лініями вірні висловлювання (Слайд 12)

Поєднайте лініями відповідні частини визначення.

а) При множенні ступенів з однаковими основами.

1)підставою ступеня

б) При розподілі ступенів з однаковими основами ….

2) Показник ступеня

в) Число а називають

3) добуток n множників, кожен із яких дорівнює а.

г) При зведенні ступеня до ступеня …

4)… основа залишається незмінною, а показники складаються.

д)Степенею числа а з натуральним показником n, більшим за 1, називається

5)… основа залишається незмінною, а показники перемножуються.

е)Числоnназивають

6) Ступенем

ж)Вираз а nназивають

7) …підстава залишається тим самим, а показники віднімаються.

2.Тепер, поміняйтеся листочками із сусідом по парті, оцініть його роботу та поставте йому оцінку. Цю оцінку виставте у свій оціночний лист.

А тепер перевіримо, чи правильно ви виконали завдання.

Відгадують ребуси, визначають слова – підказки.

Роблять спроби порушити тему уроку.

Записують у зошит число та тему уроку.

Відповідають на запитання

Працюють парами. Читають завдання, згадують.

Поєднують частини визначень

Обмінюються зошитами.

Виконують взаємоперевірку результатів, виставляють оцінки сусідові по парті.

4.Фізкультхвилинка

Руки підняли і похитали.

це дерева в лісі,

Руки зігнули, кисті струснули.

Вітер зриває листя.

У сторони руки, плавно помахати –

Птахи на південь так летять,

Як вони сядуть, тихо покажемо –

Руки склали так!

Виконують дії паралельно з учителем

5. Перенесення набутих знань, їхнє первинне застосування в нових або змінених умовах, з метою формування умінь.

1. Пропоную вам наступну роботу: у вас на партах картки. Вам необхідно виконати завдання, тобто. записати відповідь у вигляді ступеня з основою, і ви дізнаєтеся прізвище та ім'я великого французького математика, який ввів загальноприйняте в даний час позначення ступенів. (Слайд 14)

5

З 8 : З 6

(З 4 ) 3 З

(З 4 ) 3

З 4 З 5 З 0

З 5 З 3 : З 6

З 16 : З 8

З 14 З 8

10.

(З 3 ) 5

Відповідь: Рене Декарт.

Розповідь про біографію Рене Декарта (Слайди 15 – 17)

Діти, а зараз давайте виконаємо наступне завдання.

2. Про Визначте, які відповіді правильні, а які помилкові. (Слайд 18 – 19)

істинному відповіді поставте у відповідність 1, хибному - 0.

отримавши впорядкований набір з одиниць і нулів, ви дізнаєтеся вірну відповідь та визначите ім'я та прізвище першої російської жінки – математика.

а) x 2 x 3 =x 5

б) s 3 s 5 s 8 = s 16

в) x 7 : x 4 = x 28

г) (c+ d) 8 : ( c+ d) 7 = c+ d

д) (x 5 ) 6 = x 30

Виберіть її ім'я з чотирьох імен відомих жінок, кожному з яких відповідає набір з одиниць та нулів:

Ада Августа Лавлейс – 11001

Софі Жермен - 10101

Катерина Дашкова - 11101

Софія Ковалевська - 11011

З біографії Софії Ковалевської (Слайд 20)

Виконують завдання, визначають прізвище та ім'я французького математика

Слухають, розглядають слайди

Відзначають вірні і невірні відповіді, записують код, що вийшов, за яким визначають ім'я першої російської жінки - математика.

6. Контроль та оцінка знань Самостійне виконання учнями завдань під контролем вчителя.

А зараз вам належить виконати перевірочну роботу. Перед вами лежать картки із завданнями різного кольору. Колір відповідає рівню складності завдання (на «3», на «4», на «5») Виберіть самі, завдання на яку оцінку ви виконуватимете і приступайте до роботи. (Слайд 21)

На 3"

1. Подайте у вигляді ступеня твір:

а) ; б) ;

в) ; г) .

2. Виконайте дії:

( m 3 ) 7 ; ( k 4 ) 5 ; (2 2 ) 3; (3 2 ) 5 ; ( m 3 ) 2 ; ( a x ) y

На "4"

1.Уявіть як ступеня твір.

а) х 5 х 8 ; б) у 2 у 9 ; в 2 6 · 2 4 ; г)m 2 m 5 m 4 ;

д)x 6 ∙ x 3 ∙ x 7 ; е) (–7) 3 ∙ (–7) 2 ∙ (–7) 9 .

2 . Подайте у вигляді ступеня приватне:

а)x 8 : x 4 ; б) (-0,5) 10 : (–0,5) 8 ;

в) х 5 : х 3 ; г) у 10 : у 10 ; д 2 6 : 2 4 ; е);

на 5"

1.Виконайте дії:

а) а 4 · а · а 3 а б) (7 х ) 2 в) р · р 2 · р 0

г) з · з 3 · з д) т · т 4 · ( т 2 ) 2 · т 0

е) (2 3 ) 7 : (2 5 ) 3 ж) –х 3 · (– х ) 4

з) (р 2 ) 4 : р 5 і) (3 4 ) 2 · (3 2 ) 3 : 3 11

2. Спростіть:

а) x 3 · ( x 2) 5 в) ( a 2) 3 · ( a 4 ) 2

б) ( a 3) 2 · a 5 г) ( x 2) 5 · ( x 5 )

Самостійна робота

Виконують завдання у зошитах

7. Підсумки уроку

Узагальнення отриманих під час уроку відомостей.Перевірка роботи, виставлення оцінок. Виявлення труднощів, з якими зіткнулися на уроці

8. Рефлексія

Що сталося з поняттям ступеня вXVIIвіці, ми з вами можемо передбачити самі. Для цього спробуйте відповісти на запитання: чи можна звести число в негативний ступінь або дробовий? Але це є предметом нашого майбутнього вивчення.

Оцінки за урок

Діти, наш урок хочу закінчити наступною притчею.

Притча. Ішов мудрець, а назустріч йому троє людей, які везли під гарячим сонцем візки з камінням для будівництва. Мудрець зупинився і поставив кожному з питання. У першого спитав: "Що ти робив цілий день". І той з усмішкою відповів, що цілий день возив прокляте каміння. У другого мудрець спитав: "А що ти робив цілий день", і той відповів: "А я сумлінно виконував свою роботу". А третій усміхнувся, його обличчя засвітилося радістю та задоволенням: "А я брав участь у будівництві храму!"

Хлопці, дайте відповідь, а що ви робили сьогодні на уроці? Тільки зробіть це у листі самооцінки. Обведіть кружком у кожному стовпчику те твердження, яке стосується вас.

У аркуші самооцінки слід підкреслити фрази, що характеризують роботу учня під час уроку у трьох напрямах.

Наш урок закінчено. Дякую всім за роботу на уроці!

Відповідають на запитання

Оцінюють свою роботу на уроці.

Зазначають у картці фрази, що характеризують їхню роботу на уроці.

Тема урока: Ступінь із натуральним показником

Тип уроку: урок узагальнення та систематизації знань

Вигляд уроку: комбінований

Форми роботи: індивідуальна, фронтальна, робота в парах

Обладнання: комп'ютер, медіапродукт (презентація у програміMicrosoftOfficePower Point 2007); картки із завданнями для самостійної роботи

Цілі уроку:

Освітні : відпрацювання умінь систематизувати, узагальнювати знання про ступінь із натуральним показником, закріпити та вдосконалити навички найпростіших перетворень виразів, що містять ступеня з натуральним показником.

- розвиваючі: сприяти формуванню умінь застосовувати прийоми узагальнення, порівняння, виділення головного, розвитку математичного кругозору, мислення, мови, уваги та пам'яті.

- Виховні: сприяти вихованню інтересу до математики, активності, організованості, формувати позитивний мотив навчання, розвиток умінь навчально-пізнавальної діяльності

Пояснювальна записка.

Цей урок проводиться у загальноосвітньому класі із середнім рівнем математичної підготовки. Основне завдання уроку - відпрацювання умінь систематизувати, узагальнювати знання про ступінь із натуральним показником реалізується у процесі виконання різних вправ.

Розвиваючий характер проявляється у підборі вправ. Використання мультимедійного продукту дозволяє заощадити час, зробити матеріал найбільш наочним, показати зразки оформлення рішень. На уроці використовуються різні види робіт, що знімає втому дітей.

Структура уроку:

1. Організаційний момент.

2. Повідомлення теми, постановка цілей уроку.

4. Усна робота.

5. Систематизація опорних знань.

6. Елементи здоров'язберігаючих технологій.

7. Виконання тестового завдання

9. Підсумки уроку.

10. Домашнє завдання.

Хід уроку:

I. Організаційний момент

Вчитель: Здрастуйте, хлопці! Я рада вітати Вас сьогодні на нашому уроці. Сідайте. Сподіваюся, що сьогодні на уроці на нас чекає і успіх, і радість. І ми, працюючи в колективі, покажемо свою обдарованість.

Будьте уважні протягом уроку. Думайте, питайте, пропонуйте – оскільки дорогою до істини ми йтимемо разом.

Відкрийте зошити та запишіть число, класна робота

II. Повідомлення теми, постановка цілей уроку

1) Тема уроку. Епіграф уроку.(Слайд 2,3)

«Нехай хтось спробує викреслити з математики

ступеня, і він побачить, що без них далеко не поїдеш» М.В. Ломоносів

2) Постановка цілей уроку.

Отже, на уроці ми повторимо, узагальним і наведемо в систему вивчений матеріал. Ваше завдання показати свої знання властивостей ступеня з натуральним показником та вміння застосовувати їх під час виконання різних завдань.

III. Повторення основних понять теми, властивостей ступеня з натуральним показником

1) розгадати анаграму: (слайд 4)

Ньспете (ступінь)

Ктореоз (відрізок)

Ованіосне (підстава)

Козапотель (показник)

Багатоунієж (множення)

2) Що таке ступінь із натуральним показником?(Слайд 5)

(ступенем числа a з натуральним показником n , великим 1, називається вираз a n , що дорівнює твору n множників, кожен з яких дорівнює a а-основа, n -показник)

3) Прочитайте вираз, назвіть основу та показник ступеня: (Слайд 6)

4) Основні властивості ступеня (дописати праву частину рівності)(Слайд 7)

• a n a m =

• a n :a m =

• (a n ) m =

• (ab) n =

• ( a / b ) n =

• a 0 =

• a 1 =

IV У стна робота

1) усний рахунок (Слайд8)

Вчитель: А тепер перевіримо, як ви вмієте застосовувати ці формули при вирішенні.

1)х 5 х 7 ; 2) а 4 а 0 ;

3) до 9 : до 7 ; 4) r n : r ;

5)5 5 2 ; 6) (- b )(- b ) 3 (- b );

7) з 4 : с; 8) 7 3 : 49;

9)у 4 у 6 у 10) 7 4 49 7 3 ;

11) 16: 4 2 ; 12) 64: 8 2 ;

13) ссс 3 ; 14) а 2 n a n ;

15) х 9 : х m ; 16) у n : у

2) гра «Виключи зайве» ((-1) 2 )(слайд9)

-1

Молодці. Добре впоралися із завданням. Далі вирішуємо такі приклади.

VСистематизація опорних знань

1. З'єднайте лініями виразу, що відповідають один одному:(слайд 10)

4 ⁶ 4 2 3 6 4 6

4 6 : 4 2 4 6 /5 6

(3 4) 6 4 ⁶ +2

(4 2 ) 6 4 6-2

(4/5) 6 4 12

2. Розставте в порядку зростання числа:(слайд 11)

3 2 (-0,5) 3 (½) 3 35 0 (-10) 3

3.Виконання завдання з подальшою самоперевіркою(слайд 12)

• А1 уявіть твір у вигляді ступеня:

а) а) х 5 х 4 ; б) 3 7 3 9 ; в 4) 3 (-4) 8 .

• А 2 спростіть вираз:

а) х 3 х 7 х 8 ; б) 2 21 :2 19 2 3

• А 3 виконайте зведення в ступінь:

а) (а 5 ) 3 ; б) (-в 7 ) 2

VIЕлементи здоров'язберігаючих технологій (слайд13)

Фізкультхвилинка: повторення ступеня чисел 2 та 3

VIIТестове завдання (слайд14)

Відповіді до тесту записані на дошці: 1 д 2 про 3б 4и 5 год 6а (видобуток)

VIII Самостійна робота за картками

На кожній парті картки із завданням за варіантами після виконання роботи здаються на перевірку

Варіант 1

1) Спростіть вирази:

а) б)

в) г)

а) б)

в) г)

Варіант 2

1) Спростіть вирази:

а) б)

в) г)

2) Знайдіть значення виразу:

а)б)

в) г)

3) Покажіть за допомогою стрілки, чому дорівнює значення виразу: нулю, позитивному чи негативному числу:

IX Підсумки уроки

№ п/п

Вид діяльності

самооцінка

Оцінка вчителя

1

Анаграма

2

Прочитай вираз

3

Правила

4

Усний рахунок

5

З'єднай лініями

6

Розставь у порядку зростання

7

Завдання із самоперевіркою

8

Тест

9

Самостійна робота за картками

X Домашнє завдання

Картки з тестами

А1. Знайдіть значення виразу: .

Попередній перегляд:

МУНІЦИПАЛЬНИЙ БЮДЖЕТНИЙ ЗАГАЛЬНООСВІТНИЙ ЗАКЛАД

СЕРЕДНЯ ЗАГАЛЬНООСВІТНЯ ШКОЛА № 11

МУНІЦИПАЛЬНОЇ ОСВІТИ МІСТО – КУРОРТ АНАПА

Номінація "Фізико-математичні науки (математика)"

План – конспект уроку на тему:

7 клас

Розробила: Бикова Є.А., учитель математики вищої кваліфікаційної категорії

Анапа, 2013

Відкритий урок з алгебри у 7-му класі на тему:

«Властивості ступеня з натуральним показником»

Цілі уроку:

Освітні:– відпрацювання умінь систематизувати, узагальнювати знання про ступінь із натуральним показником, закріпити та вдосконалити навички найпростіших перетворень виразів, що містять ступеня з натуральним показником.

Виховні: - Виховання пізнавальної активності, почуття відповідальності, культури спілкування, культури діалогу

Розвиваючі: - розвиток зорової пам'яті, математично грамотного мовлення, логічного мислення, свідомого сприйняття навчального матеріалу

Завдання:

1. Предметні: повторити, узагальнити та систематизувати знання на тему, створити умови контролю (взаємоконтролю) засвоєння знань та умінь; продовжити формування мотивації учнів до вивчення предмета.

2. Метапредметні: розвивати операційний стиль мислення, сприяти набуттю учнями навичок спілкування при спільній роботі, активізувати їхнє творче мислення; продовжити формування певних компетенцій учнів, які сприятимуть їхній ефективній соціалізації, навичкам самоосвіти та самовиховання

3. Особистісні: виховувати культуру, сприяти формуванню особистісних якостей, спрямованих на доброзичливе, толерантне ставлення до людей, життя; виховувати ініціативу та самостійність у діяльності; підвести до розуміння необхідності теми, що вивчається, для успішної підготовки до державної підсумкової атестації.

Тип уроку: узагальнюючий урок на тему.

Вигляд уроку: комбінований.

Структура уроку:

1. Організаційний момент.

2. Повідомлення теми, цілей та завдань уроку.

3. Відтворення вивченого та його застосування у стандартних ситуаціях.

4. Перенесення набутих знань, їхнє первинне застосування в нових або змінених умовах, з метою формування умінь.

5.Елементи здоров'язберігаючих технологій.

6. Самостійне виконання учнями завдань під контролем вчителя.

7.Підведення підсумків уроку та постановка домашнього завдання.

Обладнання: мультимедійний проектор, комп'ютер.

Презентація у Microsoft Office Power Point 2007(Додаток 1)

План уроку:

	Етап уроку		Час
	Організаційний момент.	Націлити учнів на урок	1 хв.
	Перевірка домашнього завдання	Корекція помилок	3 хв.
	Повідомлення теми, цілей та завдань уроку.	Постановка цілей уроку	1 хв.
	Усна робота. Повторення властивостей ступеня із натуральним показником.	Актуалізувати опорні знання	7 хв.
	Тренувальні вправи.	Сформувати навичку перетворення ступенів із натуральним показником.	10 хв.
	Фізкультурна пауза.	Застосування здоров'я заощаджуючих технологій	2 хв.
	Індивідуальна перевірна робота за картками.	Корекція помилок	12 хв
	Підсумки уроку.	Узагальнити теоретичні відомості, отримані на уроці	2 хв
	Постановка домашнього завдання.	Роз'яснити зміст домашнього завдання	2 хв

Література:

1. Алгебра: навч. для 7 кл. загальноосвіт. установ/Ю.М. Макарічев, Н.Г.Міндюк та ін; за редакцією С.А. Теляковського. - М.: Просвітництво, 2008.

2. Звавіч Л.І., Кузнєцова Л.В., Суворова С.Б. Дидактичні матеріали з алгебри для 7 класу. - М.: Просвітництво, 2009.

3. Збірник тестових завдань для тематичного та підсумкового контролю. Алгебра 7 клас. / С.А. Пушкін, І.Л. Гусєва. - М.: «Інтелект», 2013.

4. Т.Ю.Дюміна, А.А.Махоніна, «Алгебра. Поурочні плани.», - Волгоград: «Учитель», 2013 р.

Хід уроку

1.Організаційний момент.

2. Перевірка домашнього завдання

3. Тема уроку. Цілі та завдання уроку.

Математика, друзі,

Абсолютно всім потрібна.

На уроці працюй старанно,

І успіх на тебе чекає обов'язково!

4.Усна робота.

а) Повторення властивостей ступеня із натуральним показником. Дано таблицю. У лівому стовпці заповнити пропущені місця, правому – виконати завдання.

Ступенем числа а з натуральним показникомп називається ____________п ____________, кожен з яких дорівнюєа.	1. Подайте у вигляді ступеня добуток: а). (-8) * (-8) * (-8) * (-8) * (-8) * ; б). (x-y) * (x-y) * (x-y) * (x-y) *; 2. Зведіть у ступінь: 3 4 ; (-0,2) 3 ; (2/3) 2 Назвіть основу та показник записаних ступенів.
При множенні ступенів з однаковими основами ___________ залишають колишнім, а ___________ складають.	Виконайте дії: а 4 * а 12; а 6 * а 9 * а; 3 2 * 3 3
При розподілі ступенів з однаковими підставами ___________ залишають колишнім, та якщо з __________ чисельника _________ __________ знаменника.	Виконайте дії: а 12: а 4; п 9: п 3: п; 3 5 : 3 2
При зведенні ступеня ступінь _______________ залишають колишнім, а __________ перемножують.	Виконайте дії: ; (m 3) 7; (k 4) 5; (4 2 ) 3
При зведенні у ступінь твору зводять у цей ступінь _____________ ____________ та результати перемножують.	Виконати зведення у ступінь: (-2 a 3 b 2) 5; (1/3p 2 q 3 ) 3
Ступінь числа a , Не рівного нулю, з нульовим показником дорівнює	Обчисліть: 3x 0 за x= 2,6

б) Виконуючи завдання на перетворення виразів, що містять ступеня, учень припустився таких помилок:(запис на дошці)

1) а) ; б) ;

в) ; г) ;

2) а) ; б) ;

в) ; г) ;

3) а) ; б) ;

в) .

Які визначення, властивості, правила не знає учень?

5. Тренувальні вправи.

№ 447 – на дошці та у зошитах з докладним коментуванням, використовуючи властивості ступенів;

№ 450 (а, в) – на дошці та у зошитах;

№ 445 – усно.

6. Фізмінутка

Швидко встали, посміхнулися,

Вище-вище підтяглися.

Ану плечі розпряміть,

Підніміть, опустіть.

Вправо, вліво поверніть,

Рук колінами торкніться.

Сіли, встали, сіли, встали,

І на місці побігли.

Вчиться з тобою молодь

Розвивати і волю, і кмітливість.

7. Індивідуальна перевірна робота.

Кожен учень виконує завдання, до них додається ключ, у якому використано весь алфавіт, щоб унеможливити вгадування відповідей за буквами. У разі правильного рішення – правильне слово.

Завдання для кожного ряду індивідуальні.

№ п/п	Завдання 1 ряд	№ п/п	Завдання 2 ряд	№ п/п	Завдання 3 ряд
	m 3 * m 2 * m 8		a 4 * a 3 * a 2		a 4 * a * a 3 * a
	p 20 : p 17		(2 4 ) 5 : (2 7 ) 2		(7x) 2
	з 5 : з 0		3 * 3 2 * 3 0		p * p 2 * p 0
	(3a) 3		(2y) 5		c * c 3 * c
	m * m 5 * m 3 * m 0		(m 2 ) 4 * m		m * m 4 * (m 2 ) 2 * m 0
	2 14 : 2 8		(2 3 ) 2		(2 3 ) 7 : (2 5 ) 3
	(-x) 3 * x 4		(-x 3 ) *(- x) 4		X 3 * (-x) 4
	(p * p 3): p 5		(p 2 * p 5): p 4 * p 0		(p 2) 4: p 5
	3 7 * (3 2 ) 3 : 3 10		(3 5 ) 2 * 3 7 : 3 14		(3 4 ) 2 * (3 2 ) 3 : 3 11

Ключ

	32y 5				49x 2				27a 3
								m 13
81a 3		16a 4		10y 5	9y 7			32x 5	49y 3

Результати роботи висвічуються на слайді для самоперевірки:

Математика

8. Підсумки уроку:

Підбиття підсумків уроку, виставлення оцінок.

– Перерахуйте властивості ступеня із натуральним показником.

Оцінки за урок поставимо після перевірки роботи з тестами з огляду на відповіді тих учнів, які відповідали протягом уроку.

Відгадайте кросворд

По вертикалі:

1. Він ділить ділене
2. Елементарна фігура на площині
3. Вірна рівність
4. Одиниця з дев'ятьма нулями
5. Його складають із подібним
6. Два в ступені три

По горизонталі:

2. Число сторін у трикутнику

4. Сума одночленів

5. Підсумовувати

7. Відрізок, що з'єднує точку кола з її центром

8. Має чисельник та знаменник

9. Завдання додому:

Ступенем числа а з натуральним показником п називається ____________ п ____________, кожен з яких дорівнює а. 1. Подайте у вигляді ступеня добуток: а). (-8) * (-8) * (-8) * (-8) * (-8) * ; б). (x-y) * (x-y) * (x-y) * (x-y) *; 2. Зведіть у ступінь: 3 4; (-0,2) 3; (2 /3) 2 Назвіть основу та показник записаних ступенів. При множенні ступенів з однаковими основами ___________ залишають колишнім, а ___________ складають. Виконайте дії: а 4 * а 12; а 6*а 9*а; 3 2 * 3 3 При розподілі ступенів з однаковими підставами ___________ залишають тим самим, а з __________ чисельника _________ __________ знаменника. Виконайте дії: а 12: а 4; п 9: п 3: п; 3 5: 3 2 При зведенні ступеня в ступінь _______________ залишають колишнім, а __________ перемножують. Виконайте дії: ; (m 3) 7; (k 4) 5; (4 2) 3 При зведенні до ступеня твору зводять у цей ступінь _____________ ____________ і результати перемножують. Виконати зведення у ступінь: (-2 a 3 b 2) 5; (1 /3p 2 q 3) 3 Ступінь числа a , що не дорівнює нулю, з нульовим показником дорівнює Обчисліть: 3 x 0 при x = 2,6 Повторимо!

Мозковий штурм

Швидко встали, посміхнулися, Вище-вище підтяглися. Ану плечі розпряміть, Підніміть, опустіть. Праворуч, ліворуч поверніть Рук колінами торкніться. Сіли, підвелися, сіли, підвелися, І на місці побігли. Вчиться з тобою молодь Розвивати і волю, і кмітливість.

Індивідуальна перевірочна робота № п/п Завдання 1 ряд № п/п Завдання 2 ряд № п/п Завдання 3 ряд 1 m 3 * m 2 * m 8 1 a 4 * a 3 * a 2 1 a 4 * a * a 3 * a 2 p 20: p 17 2 (2 4) 5: (2 7) 2 2 (7x) 2 3 c 5: c 0 3 3 * 3 2 * 3 0 3 p * p 2 * p 0 4 (3a ) 3 4 (2y) 5 4 c * c 3 * c 5 m * m 5 * m 3 * m 0 5 (m 2) 4 * m 5 m * m 4 * (m 2) 2 * m 0 6 2 14 : 2 8 6 (2 3) 2 6 (2 3) 7: (2 5) 3 7 (-x) 3 * x 4 7 (-x 3) * (- x) 4 7 -x 3 * (-x ) 4 8 (p * p 3) : p 5 8 (p 2 * p 5) : p 4 * p 0 8 (p 2) 4: p 5 9 3 7 * (3 2) 3: 3 10 9 (3 5) 2 * 3 7: 3 14 9 (3 4) 2 * (3 2) 3: 3 11

Перевір себе! Ключ! А Б В Г Д Е Ж З І К m 9 32y 5 81 a 9 x 3 49x 2 m 5 p 4 c 5 27a 3 Л М Н О П Р С Т У Ф 64 3 4 p 3 27 2 5 x 7 p 6 m 3 m 13 a 8 Х Ц Ч Ш Щ Ь Ь Е Е 81a 3 c 7 16a 4 25 10y 5 9y 7 -x 7 a 2 32x 5 49y 3 Я x 5

математика

ВІДГАДАЙТЕ КРОЗВОРД За вертикаллю: 1. Він ділить поділене 2. Елементарна фігура на площині 3. Вірна рівність 4. Одиниця з дев'ятьма нулями 5. Його складають з подібним 6. Два в ступені три По горизонталі: 2. Число сторін у трикутнику 4 . одночленів 5. Підсумовувати 7. Відрізок, що з'єднує точку кола з її центром 8. Має чисельник та знаменник

Підсумок уроку Виставлення оцінок Завдання додому Відповісти на запитання стор 101, № 450(б, г) , № 534, № 453.

Після того як визначено ступінь числа, логічно поговорити про властивості ступеня. У цій статті ми дамо основні властивості ступеня числа, при цьому торкнемося всіх можливих показників ступеня. Тут ми наведемо докази всіх властивостей ступеня, і навіть покажемо, як застосовуються ці властивості під час вирішення прикладів.

Навігація на сторінці.

Властивості ступенів із натуральними показниками

За визначенням ступеня з натуральним показником ступінь a n є добутком n множників, кожен з яких дорівнює a . Відштовхуючись від цього визначення, а також використовуючи властивості множення дійсних чисел, можна отримати та обґрунтувати наступні властивості ступеня з натуральним показником:

1. основна властивість ступеня a m · a n = a m + n, його узагальнення;
2. властивість приватного ступенів з однаковими основами a m:a n =a m−n ;
3. властивість ступеня твору (a b) n = a n b n, його розширення;
4. властивість частки у натуральному ступені (a:b) n =a n:b n ;
5. зведення ступеня в ступінь (a m) n = a m·n його узагальнення (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·...·n k;
6. порівняння ступеня з нулем:
   • якщо a>0, то an>0 для будь-якого натурального n;
   • якщо a = 0, то a n = 0;
   • якщо a<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 , якщо a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. якщо a та b – позитивні числа та a
8. якщо m і n такі натуральні числа, що m>n то при 0 0 справедлива нерівність a m >a n .

Відразу зауважимо, що всі записані рівності є тотожнимиза дотримання зазначених умов, та його праві і ліві частини можна поміняти місцями. Наприклад, основна властивість дробу a m ·a n =a m+n при спрощення виразівчасто застосовується у вигляді m + n = a m · a n .

Тепер розглянемо кожне з них докладно.

Почнемо з якості твору двох ступенів з однаковими основами, яке називають основною властивістю ступеня: для будь-якого дійсного числа a та будь-яких натуральних чисел m і n справедлива рівність a m ·a n =a m+n .

Доведемо основну властивість ступеня. За визначенням ступеня з натуральним показником добуток ступенів з однаковими основами виду a m a a n можна записати як добуток. В силу властивостей множення отриманий вираз можна записати як , а це твір є ступінь числа a з натуральним показником m+n, тобто, a m+n. На цьому доказ завершено.

Наведемо приклад, що підтверджує основну властивість ступеня. Візьмемо ступеня з однаковими основами 2 і натуральними ступенями 2 і 3 за основною властивістю ступеня можна записати рівність 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Перевіримо його справедливість, навіщо обчислимо значення виразів 2 2 ·2 3 і 2 5 . Виконуючи зведення в ступінь, маємо 2 2 · 2 3 = (2 · 2) · (2 ​​· 2 · 2) = 4 · 8 = 32і 2 5 =2·2·2·2·2=32 , оскільки виходять рівні значення, то рівність 2 2 · 2 3 = 25 - правильне, і воно підтверджує основну властивість ступеня.

Основне властивість ступеня з урахуванням властивостей множення можна узагальнити добуток трьох і більшої кількості ступенів з однаковими основами і натуральними показниками. Так для будь-якої кількості k натуральних чисел n 1 , n 2 , …, n k справедлива рівність a n 1 ·a n 2 ·...·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Наприклад, (2,1) 3 · (2,1) 3 · (2,1) 4 · (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Можна переходити до наступної властивості ступенів із натуральним показником – властивості приватного ступеня з однаковими підставами: для будь-якого відмінного від нуля дійсного числа a і довільних натуральних чисел m і n, що задовольняють умові m>n справедлива рівність a m:a n =a m−n .

Перш ніж навести доказ цієї властивості, обговоримо зміст додаткових умов у формулюванні. Умова a≠0 необхідна для того, щоб уникнути розподілу на нуль, тому що 0 n =0 , а при знайомстві з розподілом ми домовилися, що на нуль ділити не можна. Умова m>n вводиться для того, щоб ми не виходили за межі натуральних показників ступеня. Дійсно, при m>n показник ступеня a m−n є натуральним числом, інакше він буде або нулем (що відбувається за m−n ), або негативним числом (що відбувається за m

Доведення. Основна властивість дробу дозволяє записати рівність a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. З отриманої рівності a m-n · a n = a m і з виходить, що a m-n є приватним ступенів a m і a n . Цим доведено властивість приватного ступеня з однаковими підставами.

Наведемо приклад. Візьмемо два ступені з однаковими основами π і натуральними показниками 5 і 2, розглянутій властивості ступеня відповідає рівність π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 .

Тепер розглянемо властивість ступеня твору: натуральний ступінь n добутку двох будь-яких дійсних чисел a і b дорівнює добутку ступенів a n і b n , тобто, (a b) n = a n b n .

Справді, за визначенням ступеня з натуральним показником маємо . Останній твір на підставі властивостей множення можна переписати як що дорівнює a n · b n .

Наведемо приклад: .

Ця властивість поширюється на ступінь добутку трьох і більшої кількості множників. Тобто властивість натурального ступеня n твору k множників записується як (a 1 · a 2 · ... · a k) n = a 1 n · a 2 n · ... · a k n.

Для наочності покажемо цю властивість з прикладу. Для добутку трьох множників у ступені 7 маємо.

Наступна властивість є властивість приватного в натуральному ступені: частка дійсних чисел a і b , b≠0 в натуральному ступені n дорівнює приватному ступені a n і b n , тобто, (a:b) n =a n:b n .

Доказ можна провести, використовуючи попередню властивість. Так (a:b) n · b n = ((a: b) · b) n = a n, та якщо з рівності (a:b) n ·b n =a n слід, що (a:b) n є приватним від розподілу a n на b n .

Запишемо цю властивість на прикладі конкретних чисел: .

Тепер озвучимо властивість зведення ступеня до ступеня: для будь-якого дійсного числа a та будь-яких натуральних чисел m і n ступінь a m у ступеню n дорівнює ступеню числа a з показником m·n , тобто (a m) n = a m·n .

Наприклад, (5 2) 3 = 5 2 · 3 = 5 6 .

Доказом якості ступеня є такий ланцюжок рівностей: .

Розглянуту властивість можна поширити на ступінь ступеня ступеня і т.д. Наприклад, для будь-яких натуральних чисел p , q , r і s справедлива рівність . Для більшої ясності наведемо приклад із конкретними числами: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Залишилося зупинитися на властивостях порівняння ступенів із натуральним показником.

Почнемо з доказу якості порівняння нуля і рівня з натуральним показником.

Спочатку обгрунтуємо, що a n >0 при будь-якому a>0 .

Добуток двох позитивних чисел є позитивним числом, що випливає з визначення множення. Цей факт та властивості множення дозволяють стверджувати, що результат множення будь-якої кількості позитивних чисел також буде позитивним числом. А ступінь числа a з натуральним показником n за визначенням є добутком n множників, кожен із яких дорівнює a . Ці міркування дозволяють стверджувати, що з будь-якого позитивного підстави a ступінь a n є позитивне число. З огляду на доведену властивість 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 і .

Досить очевидно, що з будь-якого натурального n при a=0 ступінь a n є нуль. Дійсно, 0 n = 0 · 0 · ... · 0 = 0 . Наприклад, 03 = 0 і 0762 = 0 .

Переходимо до негативних підстав ступеня.

Почнемо з випадку, коли показник ступеня є парним числом, позначимо його як 2m, де m - натуральне. Тоді . По кожен із творів виду a·a дорівнює добутку модулів чисел a та a , отже, є позитивним числом. Отже, позитивним буде і твір і ступінь a 2·m. Наведемо приклади: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 і .

Нарешті, коли основа ступеня a є негативним числом, а показник ступеня є непарне число 2·m−1 , то . Всі твори a · a є позитивними числами, добуток цих позитивних чисел також позитивно, а його множення на негативне число, що залишилося a дає в результаті негативне число. В силу цієї властивості (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Переходимо до властивості порівняння ступенів з однаковими натуральними показниками, яке має наступне формулювання: з двох ступенів з однаковими натуральними показниками n менше та, основа якої менша, а більша за та, основа якої більша. Доведемо його.

Нерівність a n властивостей нерівностейсправедлива і доведена нерівність виду a n (2,2) 7 та .

Залишилося довести останню з перерахованих властивостей ступенів із натуральними показниками. Сформулюємо його. З двох ступенів з натуральними показниками та однаковими позитивними основами, меншими одиниці, більший той ступінь, показник якого менший; а з двох ступенів з натуральними показниками та однаковими основами, більшими одиниці, більшим є той ступінь, показник якого більший. Переходимо до підтвердження цієї якості.

Доведемо, що за m>n і 0 0 в силу вихідної умови m>n, звідки випливає, що при 0

Залишилося довести другу частину якості. Доведемо, що з m>n і a>1 справедливо a m >a n . Різниця a m -a n після винесення a n за дужки набуває вигляду a n · (a m−n −1) . Це твір позитивно, тому що при a>1 ступінь a n є позитивне число, і різницю a m−n −1 є позитивне число, оскільки m−n>0 в силу початкової умови, і при a>1 ступінь a m−n більше одиниці . Отже, a m -a n >0 і a m >a n , що потрібно було довести. Ілюстрацією цієї властивості є нерівність 3 7 >3 2 .

Властивості ступенів із цілими показниками

Так як цілі позитивні числа є натуральними числами, то всі властивості ступенів з цілими позитивними показниками точно збігаються з властивостями ступенів з натуральними показниками, перерахованими і доведеними в попередньому пункті.

Ступінь із цілим негативним показником, а також ступінь з нульовим показником ми визначали так, щоб залишалися справедливими всі властивості ступенів з натуральними показниками, що виражаються рівностями. Тому всі ці властивості справедливі і для нульових показників ступеня, і для негативних показників, при цьому, звичайно, підстави ступенів відмінні від нуля.

Отже, для будь-яких дійсних і відмінних від нуля чисел a і b, а також будь-яких цілих чисел m і n справедливі такі властивості ступенів із цілими показниками:

1. a m · a n = a m + n;
2. a m:a n =a m−n;
3. (a b) n = a n b n ;
4. (a:b) n = a n: b n;
5. (a m) n = a m·n;
6. якщо n – ціле позитивне число, a та b – позитивні числа, причому a b −n;
7. якщо m і n - цілі числа, причому m>n, то при 0 1 виконується нерівність a m >a n .

При a=0 ступеня a m і a n мають сенс коли і m , і n позитивні цілі числа, тобто, натуральні числа. Отже, щойно записані властивості також справедливі випадків, коли a=0 , а числа m і n – цілі позитивні.

Довести кожну з цих властивостей нескладно, для цього достатньо використовувати визначення ступеня з натуральним і цілим показником, а також властивості дій з дійсними числами. Наприклад доведемо, що властивість ступеня ступеня виконується як цілих позитивних чисел, так цілих непозитивних чисел. Для цього потрібно показати, що якщо p є нуль або натуральне число і q є нуль або натуральне число, то справедливі рівності (a p) q =a p·q , (a −p) q =a (−p)·q , (a p ) −q =a p·(−q) і (a −p) −q =a (−p)·(−q). Зробимо це.

Для позитивних p і q рівність (a p) q =a p·q доведено у попередньому пункті. Якщо p = 0, то маємо (a 0) q = 1 q = 1 і a 0 · q = a 0 = 1, звідки (a 0) q = a 0 · q. Аналогічно, якщо q = 0, то (a p) 0 = 1 і a p · 0 = a 0 = 1, звідки (a p) 0 = a p · 0 . Якщо і p=0 і q=0 , то (a 0) 0 =1 0 =1 і a 0·0 =a 0 =1 , звідки (a 0) 0 =a 0·0 .

Тепер доведемо, що (a −p) q =a (−p)·q . За визначенням ступеня з цілим негативним показником, тоді . За якістю приватного у ступеня маємо . Оскільки 1 p =1·1·…·1=1 і , то . Останнє вираз за визначенням є ступенем виду a −(p·q) , який з правил множення можна записати як a (−p)·q .

Аналогічно .

І .

За таким самим принципом можна довести решту властивостей ступеня з цілим показником, записані у вигляді рівностей.

У передостанньому із записаних властивостей варто зупинитися на доказі нерівності a −n >b −n , яка справедлива для будь-якого цілого негативного −n та будь-яких позитивних a та b , для яких виконується умова a . Оскільки за умовою a 0 . Добуток a n · b n теж позитивно як добуток позитивних чисел a n і b n . Тоді отриманий дріб позитивний як приватний позитивних чисел b n -a n і a n · b n . Отже, звідки a −n >b −n , що потрібно було довести.

Остання властивість ступенів із цілими показниками доводиться так само, як аналогічна властивість ступенів із натуральними показниками.

Властивості ступенів з раціональними показниками

Ступінь з дрібним показником ми визначали, поширюючи на неї властивості ступеня з цілим показником. Іншими словами, ступені з дробовими показниками мають ті ж властивості, що і ступені з цілими показниками. А саме:

p align="justify"> Доказ властивостей ступенів з дробовими показниками базується на визначенні ступеня з дробовим показником, на і на властивостях ступеня з цілим показником. Наведемо докази.

За визначенням ступеня з дробовим показником і , тоді . Властивості арифметичного кореня дозволяють нам записати такі рівності. Далі, використовуючи властивість ступеня з цілим показником, отримуємо , звідки за визначенням ступеня з дробовим показником маємо , А показник отриманого ступеня можна перетворити так: . На цьому доказ завершено.

Абсолютно аналогічно доводиться друга властивість ступенів із дробовими показниками:

По подібним принципам доводяться та інші рівності:

Переходимо до підтвердження наступного характеристики. Доведемо, що для будь-яких позитивних a і b, a b p. Запишемо раціональне число p як m/n, де m – ціле число, а n – натуральне. Умов p<0 и p>0 у цьому випадку будуть еквівалентні умови m<0 и m>0 відповідно. При m>0 та a

Аналогічно, при m<0 имеем a m >b m, звідки, тобто, і a p > b p.

Залишилося довести останню з перерахованих властивостей. Доведемо, що раціональних чисел p і q , p>q при 0 0 - нерівність a p > a q. Ми завжди можемо привести до спільного знаменника раціональні числа p і q, нехай при цьому ми отримаємо прості дроби і де m 1 і m 2 - цілі числа, а n - натуральне. При цьому умові p>q відповідатиме умова m 1 >m 2 , що випливає з . Тоді за якістю порівняння ступенів з однаковими основами та натуральними показниками при 0 1 – нерівність a m 1 >a m 2 . Ці нерівності за властивостями коренів можна переписати відповідно як і . А визначення ступеня з раціональним показником дозволяє перейти до нерівностей та відповідно. Звідси робимо остаточний висновок: при p>q і 0 0 - нерівність a p > a q.

Властивості ступенів із ірраціональними показниками

З того, як визначається ступінь з ірраціональним показником, можна зробити висновок, що вона має всі властивості ступенів з раціональними показниками. Так для будь-яких a>0, b>0 та ірраціональних чисел p і q справедливі наступні властивості ступенів із ірраціональними показниками:

1. a p · a q = a p + q;
2. a p: a q = a p-q;
3. (a b) p = a p b ;
4. (a:b) p = a p: b p;
5. (a p) q = a p · q;
6. для будь-яких позитивних чисел a і b, a 0 справедлива нерівність a p b p;
7. для ірраціональних чисел p і q p при 0 0 - нерівність a p > a q.

Звідси можна зробити висновок, що ступеня з будь-якими дійсними показниками p і q при a>0 мають ті ж властивості.

Список літератури.

• Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. МатематикаЖ підручник для 5 кл. загальноосвітніх установ.
• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 7 кл. загальноосвітніх установ.
• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх установ.
• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 9 кл. загальноосвітніх установ.
• Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
• Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).